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Fórmula, equações e cálculos do filtro Butterworth

Fórmula, equações e cálculos do filtro Butterworth


O filtro Butterworth é uma forma popular de filtro que fornece uma resposta in-band plana ao máximo. Embora o método mais comum de calcular os valores atualmente seja usar um aplicativo ou outro software de computador, ainda é possível calculá-los usando métodos mais tradicionais. Existem fórmulas ou equações que podem ser processadas para esses cálculos e, desta forma, é possível entender os trade-offs e funcionamentos mais facilmente.

Usando as equações do filtro Butterworth, é relativamente fácil calcular e plotar a resposta de frequência, bem como calcular os valores necessários.

Resposta de frequência do filtro Butterworth

Como o filtro Butterworth é no máximo plano, isso significa que ele é projetado de forma que, na frequência zero, as primeiras derivadas 2n-1 para a função de potência em relação à frequência sejam zero.

Assim, é possível derivar a fórmula para a resposta de frequência do filtro Butterworth:

|VForaVdentro|2=11 +(ffc)2n

Onde:
f = frequência em que o cálculo é feito
fc = a frequência de corte, ou seja, metade da potência ou frequência de -3dB
Vin = tensão de entrada
Vout = tensão de saída
n = número de elementos no filtro

A equação pode ser reescrita para dar seu formato mais usual. Aqui, H (jω) é a função de transferência e assume-se que o filtro não tem ganho, ou seja, não é um filtro ativo.

|H(jω)|=11+(ωωc)2n

Onde:
H (jω) = função de transferência na frequência angular ω
ω = frequência angular e é igual a 2πf
ωc = frequência de corte expressa como um valor angular e é igual a 2πfc

Nota: Não importa se ω / ωo ou f / fc é usado porque é puramente uma proporção dos dois números. Se ω, que é 2πf, for usado, então o fator 2π se cancela, pois está no topo e na base da fração.

Quando quiser expressar a perda do filtro Butterworth em qualquer ponto, a fórmula Butterworth abaixo pode ser usada. Isso dá a atenuação em decibéis em qualquer ponto.

UMAd =10registro10(1+(ωωc)2n)

Exemplo de cálculo do filtro Butterworth

Para fornecer um exemplo da resposta do cálculo do filtro Butterworth, pegue um exemplo do circuito fornecido a seguir. Como é normal com esses cálculos, valores normalizados são usados ​​onde a frequência de corte é 1 radiano, ou seja, 1/2 the Hz, a impedância é 1 Ω e os valores são dados em Farads e Henries.

O exemplo abaixo usa alguns dos valores mais simples, com impedância de 1Ω, e valores para o capacitor de 2 Farads e os indutores em série de 1 Henry cada.


Usando a fórmula acima e um conhecimento de que o ponto de corte é 0,159 Hz, é possível calcular os valores de resposta em várias frequências:


Resposta do filtro Butterworth
Frequência (Hz)Saída de energia relativa
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Postes de filtro Butterworth

Os pólos de um filtro passa-baixa Butterworth com frequência de corte ωc são espaçados uniformemente em torno da circunferência de um semicírculo de raio ωc centrado na origem do plano s.

Os pólos de um filtro de dois pólos estão a ± 45 °. Aqueles de um filtro de quatro pólos estão em ± 22,5 ° e ± 67,5 °. Outros casos também podem ser deduzidos de maneira semelhante.

No entanto, a tabela abaixo fornece os pólos dos filtros Butterworth de passagem baixa com um a oito pólos e frequência de corte de 1 rad / s, ou seja, para um filtro normalizado.


Pólos dos polinômios Butterworth normalizados
OrdemPoloneses
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Essas equações básicas fornecem a base para o desenvolvimento de um filtro LC Butterworth simples adequado para RF e outras aplicações.


Assista o vídeo: Butterworth Filter - 01 - Introduction (Janeiro 2022).